Solution of linear system : general solution with free variables

- basic variable : corresponds to a pivot column (pivot column에 있는 변수)

- free variable : columns that don't have a leading variable. (pivot 포지션이 없는 column에 있는 변수)

- general solution : 'Ax = b' 형태, free variable을 이용하여 표현한다.

- Existence and Uniqueness Theorem

: A linear system is consistent if and only if the rightmost column of the augmented matrix is not a pivot column. 

That is, if and only if an echelon form of the matrix does not have a row of the form: [0 0 ··· 0 b], with b != 0.

 

: 해가 consistent 하고 단일인 경우, augmented matrix의 가장 오른쪽 column은 pivot column이 아니어야한다.

(pivot column에는 반드시 0이 포함되고, 0 = b 이면 해가 단일일 수 없기 때문)

즉, echelon form의 row에  [0 0 ··· 0 b] 이러한 형태가 없어야 한다. (b가 nonzero일 때)

해가 없다.

 

: linear system 이 consistent 하고 단일 solution 을 가진 경우, solution set에 free variable이 없어야한다.

: 무한한 solution을 가진 경우, solution set에 free variable이 최소 1개 이상 있어야한다.