Vector equations & Scalar

- Scalar, Vector, Matrix

 

(vector는 주로 column vector를 쓴다.)

 

 

- Algebraic properties of ℝn

: ℝn space에 있는 vector u, v, w 와 scalar c, d는 아래와 같은 공식을 만족한다.

 

 

- vector v + vector u 를 그래프에서 나타낸 모습

(b) 기준점을 0,0으로 했을 때 모습

 

 

- Linear combinations

: ℝn space에 있는 vector가 v1, v2, v3, ..., vp 이고

scalar가 c1, c2, c3, ..., cp 일 때,

vector y는 'y = c1v1, c2v2, c3v3, ..., cpvp' 로 표현할 수 있다.

이는 linear combination of v1, v2, v3, ..., vp    with weight c1, c2, c3, ..., cp 라고 정의한다.

 

 

- Vector ~ Matrix ~ Span

다음 세 질문은 모두 같은 solution set을 가진다.

 

1) Is a vector b in Span{v1,...,vp}?

2) Does the following vector equation have a solution? x1v1 + x2v2 + ... xnvn = b

3) Does the following augmented matrix have a solution? [v1 ... vn b]

 

 

- Multiply matrix by vector

: Matrix 와 Vector 는 서로 곱할 수 있다.

 

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- 정리 3.

아래와 같이 정의될 때,

A is mxn matrix, with column a1,...,an

b is in ℝm

 

1) matrix equation : Ax = b

2) vector equation : x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b

3) augmented matrix : [a1 a2 ... an b]

 

위 세가지 식은 모두 같은 solution set을 가진다.

 

 

- 정리 4. 

A is mxn matrix, with columns a1,...,an

The followings are all true or all false

 

1) For each b in ℝm, Ax = b has a solution.

2) Each b in ℝm is a linear combination of the columns of A.

3) The columns of A span ℝm.

4) A has a pivot position in every row.

 

 

- 정리 5.

If A is an mxn matrix, u and b are vectors in  ℝn, and c is a scalar, then;

 

A(u + v) = Au + Av;

A(cu) = c(Au)